【算法导论】0-1背包问题 与 部分背包

【0-1背包】 问题描述：n件物品，第i件物品价值 v[i] 元，重w[i] 磅。希望用 W磅的书包 拿走总价值最贵的物品。(物品不可以分割故称为0-1背包)

【部分背包】问题描述：n件物品，第i件物品价值 vi 元，重wi 磅。希望用 W磅的背包 拿走最重的物品。第i件物品可以都拿走，也可以拿走一部分。（物品可以分割所以称为部分背包）

注意：0-1背包不能用贪心算法求解。

原因：按照贪心算法，每一次拿的都是每磅最贵的物品。由于物品大小不同，有可能每磅最贵的不是最合适大小的。最坏的情况可能导致，背包没有装满，而且当前装的也不是最优的。

例如：10磅 A 价值60￥ ； 20磅 B 价值100￥；30磅 C 价值120￥； 背包重50磅

按照贪心算法 ，应该选择 A B (160￥) 但是最优的应该是 BC（220￥）

分析：没有装满的背包降低了平均每磅物品的价值，将物品装入时必须考虑

1）装入物品i后子问题的解

2）不装入物品i后子问题的解哪个最优。

这样导致了许多子问题重叠，而这又恰巧是动态规划特点。

部分背包，显而易见可以用贪心算法。

【0-1背包】问题描述：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。所谓0-1背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。

二， 解决方案：
考虑使用动态规划(dynamic programming)问题求解，定义一个递归式 opt[i][v] 表示前i个物品，在背包容量大小为v的情况下，最大的装载量。
opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i])
解释如下：
opt[i-1][v] 表示第i件物品不装入背包中，而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品装入背包中。

花费如下：
时间复杂度为o(V * T) ，空间复杂度为o(V * T) 。 时间复杂度已经无法优化，但是空间复杂度则可以进行优化。但必须将V 递减的方式进行遍历，即V.......0 的方式进行。

三，初始化：
（1）若要求背包必须放满，则初始如下：
f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示当容积为0时，只接受一个容积为0的物品入包。
（2）若要求背包可以空下，则初始化如下：
f[0...V] = 0 ，表示任意容积的背包都有一个有效解即为0。
具体解释如下：
初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。
如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，
其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。
如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，
这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

四，代码如下：

/*
01背包，使用了优化后的存储空间
建立数组

f[i][v] = max(f[i-1][v] , f[i-1][v-c[i]] + w[i])
将前i件物品，放入容量为v的背包中的最大值。


下面介绍一个优化，使用一维数组，来表示
(1) f[v]表示每一种类型的物品，在容量为v的情况下，最大值。
但是体积循环的时候，需要从v----1循环递减。


初始化问题：
(1)若要求背包中不允许有剩余空间，则可以将f[0]均初始化为0，其余的f[1..n]均初始化为-INF 。
表示只有当容积为0 的时候，允许放入质量为0的物品。
而当容积不为0的情况下，不允许放入质量为0的物品，并且把状态置为未知状态。



(2)若要求背包中允许有剩余空间 ，则可以将f[1n]，均初始化为0。
这样，当放不下去的时候，可以空着。
*/

#include<iostream>
usingnamespace std ;
constint V=1000 ;//总的体积 
constint T=5 ;//物品的种类 
int f[V+1] ;
//#define EMPTY//可以不装满 
int w[T] ={8 , 10 , 4 , 5 ,5};//价值 
int c[T] ={600 , 400 , 200 , 200 ,300};//每一个的体积 
constint INF=-66536 ;

int package()
{
 #ifdef EMPTY
for(int i=0 ; i<= V ;i++)//条件编译，表示背包可以不存储满
f[i] =0 ;
#else
f[0] =0 ;
for(int i=1 ; i<= V ;i++)//条件编译，表示背包必须全部存储满
f[i] = INF ;
 #endif

for(int i=0 ; i< T ; i++)
{
 for(int v= V ; v >= c[i] ;v--)//必须全部从V递减到0
{
f[v] = max(f[v-c[i]]+ w[i] , f[v]) ;//此f[v]实质上是表示的是i-1次之前的值。
} 
}
return f[V] ;
}

int main()
{
 
 int temp = package() ; 
cout<<temp<<endl ;
 system("pause") ;
 return0 ;
}