【算法复习二】货郎担（旅行售货商）动态规划

一，问题由来

货郎担问题也叫旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem），是数学领域中著名问题之一。

　

二，问题描述

1）货郎担问题提法：有n个城市，用1，2，…，n表示，城i,j之间的距离为dij，有一个货郎从城1出发到其他城市一次且仅一次，最后回到城市1，怎样选择行走路线使总路程最短？　

　　

2）旅行商问题的提法：假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路经的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

三，问题求解

　　1）动态规划解

　　

　　 例题：设v1，v2，……..，vn是已知的n个城镇，城镇vi到城镇vj的距离为dij，现求从v1出发，经各城镇一次且仅一次返回v1的最短路程。

分析：设S表示从v1到vi中间所可能经过的城市集合，S实际上是包含除v1和vi两个点之外的其余点的集合，但S中的点的个数要随阶段数改变。

建模：状态变量（i，S）表示：从v1点出发，经过S集合中所有点一次最后到达vi。
最优指标函数fk（i，S）为从v1出发，经过S集合中所有点一次最后到达vi。
决策变量Pk（i，S）表示：从v1经k个中间城镇的S集合到vi城镇的最短路线上邻接vi的前一个城镇，则动态规划的顺序递推关系为：

fk（i，S）=min{fk-1（j，S、{ j }+dji} j属于S

f0（i，空集）=d1i（k=1，2，…,n-1,i=2,3,…n)

求解：K=0

f0(2,空集)=d12=6
f0(3,空集)=d13=7
f0(4,空集)=d14=9

当k=1时:
从城市V1出发,经过1个城镇到达Vi的最短距离为:

f1(2,{ 3 }) = f0 (3,空)+d 32 =7+8=15
f1(2,{ 4 }) = f0 (4,空)+d 42 =9+8=14
f1(3,{ 2 }) = f0 (2,空)+d 23 =6+9=15
f1(3,{ 4 }) = f0 (4,空)+d 43 =9+5=14
f1(4,{ 2 }) = f0 (2,空)+d 24 =6+7=13
f1(4,{ 3 }) = f0 (3,空)+d 34 =7+8=15

当k=2时,

从城市V1出发,中间经过2个城镇到达Vi的最短距离.

f2(2,{ 3,4 }) = min[ f1(3,{4})+d32, f1(4,{3})+ d42] =min[14+8,15+5]=20
P2(2,{3,4})=4

f2(3,{ 2,4 })= min[14+9,13+5]=18
P2(3,{2,4})=4
f2(4,{ 2,3})= min[15+7,15+8]=22
P2(4,{2,3})=2

当k=3时:

从城市V1出发,中间经过3个城镇最终回到Vi的最短距离.

f3(1,{ 2,3,4 })= min[f2(2,{ 3,4 }) + d 21,f2(3,{ 2,4})+ d31,f2(4,{ 2,3 }) + d41]=min[20+8,18+5,22+6]=23

P3(1,{2,3,4})=3

逆推回去,货郎的最短路线是1 2 4 3 1,最短距离为23.

四，源码

#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;

int n;
int cost[20][20]={};
bool done[20]={1};
int start = 0; //从城市0开始

int imin(int num, int cur)
{
	if(num==1) //递归调用的出口
		return cost[cur][start];  //所有节点的最后一个节点，最后返回 最后一个节点到起点的路径

	int mincost = 10000;
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		cout<<i<<"  i:"<<done[i]<<endl; 
		if(!done[i] && i!=start) //该结点没加入 且 非起始点 
		{
			if(mincost <= cost[cur][i]+cost[i][start])
			{
				continue; //其作用为结束本次循环。即跳出循环体中下面尚未执行的语句。区别于break 
			}
			done[i] = 1; //递归调用时，防止重复调用
			
			int value = cost[cur][i] + imin(num-1, i);

			if(mincost > value)
			{
				mincost = value;
			}
			done[i] = 0;//本次递归调用完毕，让下次递归调用
		}
	}
	return mincost;
}

int main()
{
//	cin >> n;
     n=4;
     int cc[4][4]={{0 ,4, 1, 3},
	           {4 ,0 ,2, 1},
   	           {1 ,2 ,0, 5},
                   {3 ,1, 5, 0}};
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		for(int j=0; j<n; j++)
		{
			//cin >> cost[i][j];
			cost[i][j]=cc[i][j];
		}
	}

	cout << imin(n, start) << endl;

	return 0;
}

源码解析：核心是动态规划，自底向上的思想。

写法是递归写法，自顶向下递归调用。

第一次调用：起点0，第一个节点是1时候

{

进入递归---->value = d01 +imin(3,1)

{

进入递归-----value = d12 +imin(2,2)

{

进入递归---->value = d23 +imin(1,3)

{

进入递归---->return d30;

}

……}

……}

……}